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能写的只有23456789这八个数(除非首写1),这样先写的主要去掉单数个数保持单数个可写数就赢了。(其实先写的肯定赢,因为有1这个数可以调整可写数量,先写其他数,1直接去掉,先写1,就等于变换不写1的先后手。)具体分析如下:

能被去掉的只有234这3个数(1除非首写都会被去掉)。由于无法去掉3个,这样的话只能去掉一个,先写的选择9,但是这样后写可以选择4,后选赢,所以不可选9。假如先选的写4,后选的可以选6或9,后写赢,所以不可选4。

假如先选的写2,后写的无法同时去掉3和4,后写的也不能去掉其中一个,只能选5或7这样的质数,先写的此时也不能去消3或4,因为后写的可以消另一个,好在质数有2个,先写的选另一个质数,这样后写的只能在34689中选,必然能让先选的只消一个数。

所以先选必胜,方法是先选2,后选的如果选了3,就选8消4;后选的如果选了4,就选6或9消3;后选的如果选了5或7,就选另一个质数;后选的如果选了6或9消3,先选的选4;后选的如果选了8消4,先选的写3.

(1)1+2+3+…+2011

=(1+2011)×2011÷2

=2012×2011÷2

=2023066

答:最后剩下的这个数是2023066.

(2)由于倒数第2次操作,黑板上就16个数,总和是2023066,这16个数来源于16×16=256个数,这256个数的和也同上.

2011-(16-1)x=256,x=117次,

显然,从开始,只要117次操作,黑板上就剩256个数.

①原有2011个数,和2023066

②操作117次,黑板剩余256个数:1873到2011,新出现117个和.

这117个和=2023066-(1873+2011)×139÷2=1753128

③操作16次,黑板剩余16个数都是新出现,和=2023066

④操作1次,黑板剩余1个数=2023066

综上,所有出现过的数=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326.

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