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初中数学找规律方法.txt 你出生的时候,你哭着,周围的人笑着;你逝去的时候,你笑着,而周围的人在哭!喜欢某些人需要一小时,爱上某些人只需要一天,而忘记一个人得用一生初 中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索:

一、基本方法——看增幅

(一)如增幅相等(此实为等差数列) :对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则 第 n 个数可以表示为:a+(n-1)b,其中 a 为数列的第一位数,b 为增幅,(n-1)b 为第一位数 到第 n 位的总增幅.然后再简化代数式 a+(n-1)b.

例:4、10、16、22、28……,求第 n 位数.

分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加 6,增幅相都是 6,所以,第 n 位数是:4+(n-1) ×6=6n-2

(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数 列) .如增幅分别为 3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第 n 位的数也有一种 通用求法.

基本思路是:1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅;

2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅;

3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数.

举例说明:2、5、10、17……,求第 n 位数.

分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅是:3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为:

〔3+(2n-1) 〕×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1)=n2-1

所以,第 n 位数是:2+ n2-1= n2+1

此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方 法求出,方法就简单的多了.

(三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17 增幅为 1、 2、4、8.

(三)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等) .此类题大概没有 通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一 些技巧.

35.猜想、探索规律型

一、选择题

1.(2009年四川省内江市)如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20O,

再前进5米后又向右转20O,……,这样一直走下去,

他第一次回到出发点O时一共走了( )

A.60米 B.100米

C.90米 D.120米

答案C.

2.(2009年贵州黔东南州)某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数( )粒。

A、 B、 C、 D、

关键词探索规律型

答案A

3.(2009年江苏省)下面是按一定规律排列的一列数:

第1个数: ;

第2个数: ;

第3个数: ;

……

第 个数: .

那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( )

A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数

答案A

4.(2009年孝感)对于每个非零自然数n,抛物线 与x轴交于An、Bn两点,以 表示这两点间的距离,则 的值是

A. B. C. D.

答案D

5.(2009年重庆)观察下列图形,则第 个图形中三角形的个数是( )

A. B. C. D.

答案D.

6.(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”. 从图7中可以发现,任何一个大于1

的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是( )

A.13 = 3+10 B.25 = 9+16

C.36 = 15+21 D.49 = 18+31

答案C

二、填空题

1.(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块,再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成4块,像这样依次地进行下去,到剪完某一次为止。那么2007,2008,2009,2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数

答案2008

2.(2009仙桃)如图所示,直线y=x+1与y轴相交于点A1,以OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形;然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2,再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形;同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3,记作第三个正方形;…依此类推,则第n个正方形的边长为________________.

答案

3.(2009年泸州)如图1,已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2,再过A2作A2C2⊥BC,垂足为C2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA1,A1C1, ,…,则CA1= ,

答案 , .

4.(2009年桂林市、百色市)如图,在△ABC中,∠A= .∠ABC与∠ACD的

平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相

交于点A2,得∠A2; ……;∠A2008BC与∠A2008CD的平

分线相交于点A2009,得∠A2009 .则∠A2009= .

答案

5.(2009武汉)14.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有 个小圆.

答案46

6.(2009重庆綦江)观察下列等式:

…………

则第 ( 是正整数)个等式为________.

答案

7.(2009成都)已知 ,记 , ,…, ,则通过计算推测出 的表达式 =_______.

(用含n的代数式表示)

答案

8.(2009年淄博市)如图,网格中的每个四边形都是菱形.如果格点三角形ABC的面积为S,按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是 ,格点三角形A2B2C2的面积是19S,那么格点三角形A3B3C3的面积为 .37S

答案37S

9.(2009年娄底)王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案,依此规律,第n个“中”字形图案需 根火柴棒.?

答案6n+3或9+6(n-1)

10(2009丽水市)如图,图①是一块边长为1,周长记为P1的正三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 )后,得图③,④,…,记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn,则Pn-Pn-1= ▲ .

答案

11(2009恩施市)观察数表

根据表中数的排列规律,则字母 所表示的数是____________.

答案-10

12.(2009年广西南宁)正整数按图8的规律排列.请写出第20行,第21列的数字 .

答案420

13.(2009年牡丹江市)有一列数 …,那么第7个数是 .

答案

14.(2009年广州市)如图7-①,图7-②,图7-③,图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是________,第 个“广”字中的棋子个数是________

答案

15.(2009年益阳市)图6是一组有规律的图案,第1个 图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第 (n是正整数)个图案中由 个基础图形组成.

-

答案3n+1

16.(2009年济宁市)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有 个 .

答案121

17.(2009年宜宾)如图,菱形ABCD的对角线长分别为 ,以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2,……,如此下去,得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 .

答案 .

18.(2009年日照)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线 (k>0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),

则Bn的坐标是______________.

答案( , ).

19.(2009年广西钦州)一组按一定规律排列的式子:- , ,- , ,…,(a≠0)则第n个式子是_▲_(n为正整数).

答案

20.(2009年广西梧州)图(3)是用火柴棍摆成的边长分别是1,2,3 根火柴棍时的正方形.当边长为n根火柴棍时,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 ,则 = ★ . (用n的代数式表示 )

答案

21.(2009肇庆)15.观察下列各式: , , ,…,根据观察计算: = .(n为正整数)

答案

22.(2009年湖州) 如图,已知 , 是斜边 的中点,过 作 于 ,连结 交 于 ;过 作 于 ,连结 交 于 ;过 作 于 ,…,如此继续,可以依次得到点 ,…, ,分别记 …, 的面积为 ,… .则 =________ (用含 的代数式表示).

答案

23.(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中,若开始输入的 值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……第2009次输出的结果为___________.

答案3

24.(2009年湖北荆州)13.将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上,两张一叠放成两堆不变.若每次可任选一堆的最上面的一张翻看(看后不放回),并全部看完,则共有 种不同的翻牌方式.

答案

25.(2009年广东省)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖 __________块,第 个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含 的代数式表示).

答案10,

26.(2009年山西省)下列图案是晋商大院窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第 个图中所贴剪纸“○”的个数为 .

答案

27.(2009 黑龙江大兴安岭)如图,边长为1的菱形 中, .连结对角线 ,以 为边作第二个菱形 ,使 ;连结 ,再以 为边作第三个菱形 ,使 ;……,按此规律所作的第 个菱形的边长为 .

关键词菱形的性质与判定

答案

28.(2009年本溪)16.如图所示,已知:点 , , 在 内依次作等边三角形,使一边在 轴上,另一个顶点在 边上,作出的等边三角形分别是第1个 ,第2个 ,第3个 ,…,则第 个等边三角形的边长等于 .

答案

29.观察下表,回答问题:

序号 1 2 3 …

图形

第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍.

答案20

30.(2009年绵阳市)将正整数依次按下表规律排成四列,则根据表中的排列规律,数2009应排的位置是第 670 行第 3 列.

第1列 第2列 第3列 第4列

第1行 1 2 3

第2行 6 5 4

第3行 7 8 9

第4行 12 11 10

……

答案670,3

31.(2009年铁岭市)如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第 个图形需要黑色棋子的个数是 .

答案 或 或

32.(2009年青海)观察下面的一列单项式: , , , ,…根据你发现的规律,第7个单项式为 ;第 个单项式为

答案 ;

33.(2009年龙岩)观察下列一组数: , , , ,…… ,它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是 .

答案

34.(2009年抚顺市)观察下列图形(每幅图中最小的三角形都是全等的),请写出第 个图中最小的三角形的个数有 个.

35. (2009年梅州市)如图5,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有 个,第n幅图中共有 个.

三、解答题

1.(2009仙桃)如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE‖BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD,EN= CE,得到图③,请解答下列问题:

(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:

①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;

②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若AB=k?AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.

答案解:(1)①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC.

(2)AM= AN,∠MAN=∠BAC.

2.(2009年台州市)将正整数1,2,3,…从小到大按下面规律排列.若第4行第2列的数为32,则

① ;②第 行第 列的数为 (用 , 表示).

第 列 第 列 第 列 … 第 列

第 行 1 …

第 行 …

第 行 …

… … … … … …

答案10, (第一空2分,第二空3分;答 给3分,答 给2分)

3.(2009年杭州市)如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD‖BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P.

(1)求证:AF=BE;

(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论.

答案(1)BE=AF;

(2)猜想∠BPF=120° .

4.(2009恩施市)宽与长之比为 ∶ 的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感,如图9,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.

答案解: 留下的矩形CDFE是黄金矩形 。

5.(2009白银市)29.本试卷第19题为:若 , ,试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小.观察本题中数a、b的特征,以及你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论.

答案29.解:学生可能写出不同程度的一般的结论,由一般化程度不同得不同分.

若m、n是任意正整数,且m>n,则 .

若m、n是任意正实数,且m>n,则 .

若m、n、r是任意正整数,且m>n;或m、n是任意正整数,r是任意正实数,且m>n,则 .

若m、n是任意正实数,r是任意正整数,且m>n;或m、n、r是任意正实数,且m>n,则 .

6.(2009年衢州)如图,AD是⊙O的直径.

(1) 如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是 ,∠B2的度数是 ;

(2) 如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,

∠B3的度数;

(3) 如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3 C3,…,BnCn把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案).

答案解:(1) 22.5°,67.5°

(2) 45°, 75°.

(3) .(或 )

7.(2009年安徽)19.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,如图所示.已知每个菱形图案的边长 cm,其一个内角为60°.

(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;

(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?

答案(1)6010 cm(2)需300个这样的菱形图案.

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